设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D=|(x,y)|x2+y2-xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75-x2-y2+xy。 (Ⅰ)设M(x0,y0)为区域D上的一点,问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大

admin2020-03-05  418

问题 设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D=|(x,y)|x2+y2-xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75-x2-y2+xy。
(Ⅰ)设M(x0,y0)为区域D上的一点,问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为g(x0,y0),写出g(x0,y0)的表达式;
(Ⅱ)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点。也就是说,要在D的边界线x2+y2-xy=75上找出使(Ⅰ)中g(x,y)达到最大值的点。试确定攀登起点的位置。

选项

答案(Ⅰ)函数h(x,y)在点M处沿该点的梯度方向 [*] (Ⅱ)求g(x,y)在条件x2+y2-xy-75=0下的最大值点与求g2(x,y)=(y-2x)2+(x-2y)2=5x2+5y2-8x),在条件x2+y2-xy-75=0下的最大值点等价。这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘数法。构造拉格朗日函数 L(x,y,λ)=5x2+5y2-8xy+λ(x2+y2-xy-75), 则有 [*] 联立(1),(2)解得y=-x,λ=-6或y=x,λ=-2。 若y=-x,则由(3)式得3x2=75,即x=±5,y=±5。 若y=x,则由(3)式得x2=75,即[*]。 于是得可能的条件极值点 M1(5,-5),M2(-5,5),[*]。 现比较f(x,y)=g2(x,y)=5x2+5y2-8xy在这些点的函数值,有 f(M1)=f(M2)=450,f(M3)=f(M4)=150。 因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在M1,M2,M3,M4中取到。所以g2(x,y)在M1,M2取得边界线D上的最大值,即M1,M2可作为攀登的起点。

解析
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