已知ξ1,ξ2,…,ξr(r≥3)是Ax=0的基础解系,则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是 ( )

admin2018-09-25  21

问题 已知ξ1,ξ2,…,ξr(r≥3)是Ax=0的基础解系,则下列向量组也是Ax=0的基础解系的是   (    )

选项 A、α1=-ξ2一ξ3-…-ξr,α21-ξ3-ξ4-…-ξr,α312-ξ4-…-ξr…,αr12+…+ξr
B、β112+…+ξr-1,β2134+…+ξr,β3124+…+ξr,…,βr12+…+ξC、ξ1,ξ2,…,ξr的一个等价向量组
D、ξ1,ξ2,…,ξr的一个等秩向量组

答案B

解析 β123+…+ξr,β213+…+ξr,β3124+…+ξr,βr12+…+ξr-1是Ax=0的基础解系.因
    ①由解的性质知,Aβi=A(ξ12+…+ξi-1i+1+…+ξr)=0,故βi均是Ax=0的解向量.
    ②向量个数为,r=n-r(A),与原基础解系向量个数一样多.
    ③因
1,β2,…,βr]=[ξ1,ξ2,…,ξr]

1,ξ2,…,ξr]C,
由ξ1,ξ2,…,ξr线性无关及r≥3,有

故C可逆.
    故β1,β2,…,βr线性无关,则β1,β2,…,βr也是Ax=0的基础解系,故应选B.
    另外对A.当r=3时,α1=-ξ2-ξ3,α21-ξ3,α312
因α1-α23=-ξ2-ξ3-(ξ1-ξ3)+ξ12=0,α1,α2,α3线性相关,故A中α1,α2,…,αr不是Ax=0的基础解系.
    对C,与ξ1,ξ2,…,ξr等价的向量组,向量组个数可以超过r个(即与ξ1,ξ2,…,ξr等价的向量组可能线性相关).对D,与ξ1,ξ2,…,ξr等秩向量组可能不是Ax=0的解向量,且个数也可以超过r,故A,C,D均不成立.
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