利用函数的单调性证明:当x>0时,1n(1+x)>

admin2020-07-01  23

问题 利用函数的单调性证明:当x>0时,1n(1+x)>

选项

答案本题即需证x>0时, (1+x)ln(1+x)>arctanx, 令f(x)=(1+x)ln(1+x)一arctanx,则 f′(x)=ln(1+x)+1一[*] = ln(1+x)+[*] 显然x>0时,有f′(x)>0. 又因为f(x)在[0,+∞)上连续,所以f(x)在[0,+∞)上单调增加. 于是当x>0时,有 f(x)>f(0)=0, 即 (1+x)ln(1+x)一arctanx>0, 也即 ln(1+x)>[*] (x>0)成立.

解析
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