设h(t)为三阶可导函数,u=h(xyz),h(1)=fxy’’(0,0),h’(1)=fyx’’(0,0),且满足 x2y2z2h’’’(xyz),求u的表达式,其中

admin2019-02-26  15

问题 设h(t)为三阶可导函数,u=h(xyz),h(1)=fxy’’(0,0),h’(1)=fyx’’(0,0),且满足
x2y2z2h’’’(xyz),求u的表达式,其中

选项

答案因为 ux’=yzh’(xyz).uxy’’=zh’(xyz)+xyz2h"(xyz), uxyz’’’=h’(xyz)+xyzh’’(xyz)+2xyzh’’(xyz)+x2y2z2h’’’(xyz), 所以3xyzh’’(xyz)+h’(xyz)=0,令xyz=t,得3th"(t)+h’(t)=0. 设v=h’(t),得3tv’+v=0,分离变量,得 [*] 又f(x,0)=0,则易知fx’(0,0)=0,当(x,y)≠(0,0)时,有 [*] 于是fx’(0,y)=-y,所以fxy’’(0,0)=-1,由对称性知fyx’’(0,0)=1,所以h(1)=-1,h’(1)=1, 于是 [*]

解析
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