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(1)设D={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d),若fˊˊxy与fˊˊyx在D上连续.证明: (2)设D为xOy平面上的区域,若fˊˊxy与fˊˊyx都在D上连续.证明:fˊˊxy与fˊˊyx在D上相等.
(1)设D={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d),若fˊˊxy与fˊˊyx在D上连续.证明: (2)设D为xOy平面上的区域,若fˊˊxy与fˊˊyx都在D上连续.证明:fˊˊxy与fˊˊyx在D上相等.
admin
2016-09-13
28
问题
(1)设D={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d),若fˊˊ
xy
与fˊˊ
yx
在D上连续.证明:
(2)设D为xOy平面上的区域,若fˊˊ
xy
与fˊˊ
yx
都在D上连续.证明:fˊˊ
xy
与fˊˊ
yx
在D上相等.
选项
答案
(1)[*]fˊˊ
xy
(x,y)dxdy=∫
a
b
dx∫
c
d
fˊˊ
xy
(x,y)dy=∫
a
b
fˊ
x
(x,y)|∫
c
d
dx =∫
a
b
[fˊ
x
(x,d)-fˊ
x
(x,c)dx =f(x,d)|
a
b
-f(x,c)|
a
b
=f(b,d)-f(a,d)+f(a,c)-f(b,c). 同理, [*]fˊˊ
yx
(x,y)dxdy=∫
c
d
dy∫
a
b
fˊˊ
yx
(x,y)dx=f(b,d)-f(a,d)+f(a,c)-f(b,c). 结论成立. (2)用反证法. 设[*]P
0
(x
0
,y
0
)∈D,有fˊˊ
xy
(x
0
,y
0
)≠fˊˊ
yx
(x
0
,y
0
),不妨设fˊˊ
xy
(x
0
,y
0
)-fˊˊ
yx
(x
0
,y
0
)>0.由于 [*][fˊˊ
xy
(x,y)-fˊˊ
yx
(x,y)]=fˊˊ
xy
(x
0
,y
0
)-fˊˊ
yx
(x
0
,y
0
)>0. 由极限的保号性,[*]ε
0
>0,δ>0,当P(x,y)∈U(P
0
,δ)时有fˊˊ
xy
(x,y))-fˊˊ
yx
(x,y)>ε
0
. 取D
0
={(x,y)|[*]U(P
0
,δ),于是, [*][fˊˊ
xy
(x,y))-fˊˊ
yx
(x,y)]dxdy≥[*]ε
0
dxdy=ε
0
δ
2
>0. 由(1),[*][fˊˊ
xy
(x,y)-fˊˊ
yx
(x,y)]dxdy=0,矛盾,故fˊˊ
xy
(x,y)与fˊˊ
yx
(x,y)在D上相等.
解析
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考研数学三
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