[2011年] 设函数y(x)具有二阶导数,且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点.记α为曲线z=l在点(x,y)处切线的倾角,若,求y(x)的表达式.

admin2019-05-10  39

问题 [2011年]  设函数y(x)具有二阶导数,且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点.记α为曲线z=l在点(x,y)处切线的倾角,若,求y(x)的表达式.

选项

答案利用题设条件建立微分方程,求出其特解便可求出y(x)的表达式. 因曲线y=y(x)与直线y=x在原点(0,0)相切,故y(0)=0,y′(0)=1.又由导数的几何意义有[*]=tanα,即α=arctan[*],故[*],则 [*], 即 y"=(1+y′)2y′. 该微分方程既不显含y,也不显含x,采用较简的解法求解.为此令y=p(x),则y"=[*], 于是[*]=(1+P2)p.分离变量有 [*]=dx(p≠0),dx=[*] 两边积分得到 [*][lnp2一ln(1+p2)]=lnp—ln[*]=x+C, 即 ln[*]=x+C1. 又当x=0时P=P′(0)=1,因而C1=[*]故 [*] 解之得到y′=[*](因y′(0)=1,舍去负根),故 y=[*]+C2. 又由y(0)=0得C2=一π/4,故所求的y(x)的表达式为y(x)=arcsin(ex/√2)一π/4.

解析
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