设f(x)为[a,b]上的函数且满足则称f(x)为[a,b]上的凹函数,证明: (1)若f(x)在[a,b]上二阶可微,且f"(x)>0,则f(x)为[a,b]上的凹函数. (2)若f(x)为[a,b]上的有界凹函数,则下列结论成立:

admin2019-07-22  52

问题 设f(x)为[a,b]上的函数且满足则称f(x)为[a,b]上的凹函数,证明:
    (1)若f(x)在[a,b]上二阶可微,且f"(x)>0,则f(x)为[a,b]上的凹函数.
    (2)若f(x)为[a,b]上的有界凹函数,则下列结论成立:
    (i)∈[0,1],f(λx1+(1一λ)x2)≤λf(x1)+(1—λ)f(x2),x1,x2∈[a,b];

    (iv)f(x)为(a,b)上的连续函数.

选项

答案(1)对[*]x,x0∈[a,b],有 f(x)=f(x0)+f’(x0)(x一x0)+[*](x-x0)2 >f(x0)+f’(x0)(x—x0),在上式中分别取x=x1,x=x2,[*]得到 [*] 上述两式相加即得证. (2)先证(i).由(1)有f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x—x0),分别取x=x1,x=x2,x0=λx1+(1一λ)x2,得到 f(x1)≥f(x0)+(1一λ)f’(x0)(x1—x2), ① f(x2)≥f(x0)+λf’(x0)(x2一x1). ② λ×①+(1一λ)×②得 λf(x1)+(1-λ)f(x2)≥f(x0)=f(λx1+(1一λ)x2), 得证[*] 再证(iv).[*]∈[a,b],设G为|f(x)|的上界,取绝对值充分小的δ,m<n,使得 x1=x2=…=xm=x+nδ,xm+1=…=xn=x.由(ii)知 [*] 令δ→0,则n→∞,故有f(x+δ)一f(x)→0,从而证明了f(x)的连续性.

解析
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