2. 考研
  3. 设函数S(x)=∫0x|cost|dt。 (Ⅰ)当n为正整数，且nπ≤x＜(n+1)π时，证明2n≤S(x)＜2(n+1)； (Ⅱ)求S(x)／x。

设函数S(x)=∫0x|cost|dt。 (Ⅰ)当n为正整数，且nπ≤x＜(n+1)π时，证明2n≤S(x)＜2(n+1)； (Ⅱ)求S(x)／x。

admin2019-08-01  39
问题 设函数S(x)=∫0x|cost|dt。
(Ⅰ)当n为正整数，且nπ≤x＜(n+1)π时，证明2n≤S(x)＜2(n+1)；
(Ⅱ)求S(x)／x。
选项
答案(Ⅰ)因为|cosx|≥0，且nπ≤x＜(n+1)π，所以 ∫0nπ|cosx|dx≤∫0x|cosx|dx＜∫0(n+1)π|cosx|dx(定积分的性质)。 又因为|cosx|的周期是π，所以在长度为π的积分区间上的积分值均相等，则 ∫0nπ|cosx|dx=∫0π|cosx|dx+∫π2π|cosx|dx+…+∫(n－1)πnπ|cosx|dx =n∫0π|cosx|dx=n(∫0π／2cosxdx－∫π／2nncosxdx) =n(sinx|0π／2－sinx|π／2π)=n[1－(0－1)]=2n， 所以∫0(n+1)π|cosx|dx=2(n+1)。 所以2n≤∫0x|cosx|dx＜2(n+1)，即2n≤S(x)＜2(n+1)。 (Ⅱ)由(Ⅰ)有，当nπ≤x＜(n+1)π时， [*] 由夹逼定理，得 [*]S(x)／x=2／π。
解析
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考研数学二

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