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设函数S(x)=∫0x|cost|dt。 (Ⅰ)当n为正整数,且nπ≤x<(n+1)π时,证明2n≤S(x)<2(n+1); (Ⅱ)求S(x)/x。
设函数S(x)=∫0x|cost|dt。 (Ⅰ)当n为正整数,且nπ≤x<(n+1)π时,证明2n≤S(x)<2(n+1); (Ⅱ)求S(x)/x。
admin
2019-08-01
39
问题
设函数S(x)=∫
0
x
|cost|dt。
(Ⅰ)当n为正整数,且nπ≤x<(n+1)π时,证明2n≤S(x)<2(n+1);
(Ⅱ)求
S(x)/x。
选项
答案
(Ⅰ)因为|cosx|≥0,且nπ≤x<(n+1)π,所以 ∫
0
nπ
|cosx|dx≤∫
0
x
|cosx|dx<∫
0
(n+1)π
|cosx|dx(定积分的性质)。 又因为|cosx|的周期是π,所以在长度为π的积分区间上的积分值均相等,则 ∫
0
nπ
|cosx|dx=∫
0
π
|cosx|dx+∫
π
2π
|cosx|dx+…+∫
(n-1)π
nπ
|cosx|dx =n∫
0
π
|cosx|dx=n(∫
0
π/2
cosxdx-∫
π/2
nn
cosxdx) =n(sinx|
0
π/2
-sinx|
π/2
π
)=n[1-(0-1)]=2n, 所以∫
0
(n+1)π
|cosx|dx=2(n+1)。 所以2n≤∫
0
x
|cosx|dx<2(n+1),即2n≤S(x)<2(n+1)。 (Ⅱ)由(Ⅰ)有,当nπ≤x<(n+1)π时, [*] 由夹逼定理,得 [*]S(x)/x=2/π。
解析
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考研数学二
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