2. 考研
  3. f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f’(0)＝0．证明：存在ξ∈(－1，1)，使得f’”(ξ)＝3．

f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f’(0)＝0．证明：存在ξ∈(－1，1)，使得f’”(ξ)＝3．

admin2019-11-25  37
问题 f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，且f(－1)＝0，f(1)＝1，f’(0)＝0．证明：存在ξ∈(－1，1)，使得f’”(ξ)＝3．
选项
答案由泰勒公式得 f(－1)＝f(0)＋f’(0)(－1－0)＋[*](－1－0)2＋[*](－1－0)3，ξ1∈(－1，0)， f(1)＝f(0)＋f’(0)(1－0)＋[*](1－0)2＋[*](1－0)3，ξ2∈(0，1)， 即f(0)＋[*]＝0，f(0)＋[*]＝1， 两式相减得f’”(ξ1)＋f’”(ξ2)＝6． 因为f(x)在[－1，1]上三阶连续可导，所以f’”(x)在[ξ1，ξ2]上连续，由连续函数最值定 理，f’”∥(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f’”(ξ1)＋f’”(ξ2)≤2M，即m≤3≤M． 由闭区间上连续函数介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2][*](－1，1)，使得f’”(ξ)＝3．
解析
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考研数学三

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