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  3. 设矩阵 矩阵B=(kE+A)2，其中k为实数，E为单位矩阵．求对角矩阵A，使B与A相似；并求k为何值时，B为正定矩阵．

设矩阵 矩阵B=(kE+A)2，其中k为实数，E为单位矩阵．求对角矩阵A，使B与A相似；并求k为何值时，B为正定矩阵．

admin2018-07-26  100
问题 设矩阵

矩阵B=(kE+A)2，其中k为实数，E为单位矩阵．求对角矩阵A，使B与A相似；并求k为何值时，B为正定矩阵．
选项
答案由 |λE－A| [*] =λ(λ－2)2=0 得A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=0． 记对角矩阵 [*] 因A是实对称矩阵，故存在正交矩阵P，使得 P－1AP=PTAP=D 所以A=PDP－1 于是 B=(kE+A)2=(kPP－1+PDP－1)2=[P(kE+D)P－1]2=P(kE+D)P－1P(kE+D)P－1 =P(kE+D)2P－1 [*] 由此可得 [*] 亦可由A的特征值为：2，2，0，得kE+A的特征值为：k+2，k+2，k，进而得B=(kE+A)2的特征值为：(k+2)2，(k+2)2，k2，从而得实对称矩降B相似于对角阵A． 由上面的结果立刻得到：当k≠－2，且k≠0时，B的特征值均为正数，这时B为正定矩阵．
解析 本题主要考查实对称矩阵及其多项式相似于对角矩阵的问题．注意，若方阵A相似于对角阵，则A的多项也必相似于对角阵．事实上，若存在可逆矩阵P，使
P－1AP=D

则对任意正整数m，有P－1AmP=(P－1AP)m=Dm

由此可知A的任一多项式也必相似于对角阵．例如，由
P－1(A3+2A－3E)P=P－1A3P+2P－1AP－3E

即知A的多项式A3+2A－3E相似于对角阵．本题第1种解法就是这个思想．
另外，B为实对称矩阵，所以B必相似于对角阵A，而且A的主对角线元素就是B的全部特征值，因而，只要求出了B的全部特征值，也就求出了对角阵A．这就是本题第2种解法的思想．
还需注意，本题只要求求出B的相似对角矩阵，不必求出相似变换的矩阵P．
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考研数学三

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