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设线性齐次方程组(2E—A)x=0有通解x=kξ1=k(-1,1,1)T,其中k是任意常数,A是二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的对应矩阵,且r(A)=1. (Ⅰ)问η1=(1,1,0)T,η=(1,一1,0)T是否是方程组Ax=0的解向量,
设线性齐次方程组(2E—A)x=0有通解x=kξ1=k(-1,1,1)T,其中k是任意常数,A是二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的对应矩阵,且r(A)=1. (Ⅰ)问η1=(1,1,0)T,η=(1,一1,0)T是否是方程组Ax=0的解向量,
admin
2016-05-03
59
问题
设线性齐次方程组(2E—A)x=0有通解x=kξ
1
=k(-1,1,1)
T
,其中k是任意常数,A是二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax的对应矩阵,且r(A)=1.
(Ⅰ)问η
1
=(1,1,0)
T
,η=(1,一1,0)
T
是否是方程组Ax=0的解向量,说明理由;
(Ⅱ)求二次型f(x
1
,x
2
,x
3
).
选项
答案
(Ⅰ)A是二次型的对应矩阵,故A
T
=A,由(2E一A)x=0有通解x=kξ
1
=k(一1,1,1)
T
,知A有特征值λ=2,且A的对应于λ=2的特征向量为ξ
1
=(一1,1,1)
T
.r(A)=1,故知λ=0是A的二重特征值. Ax=0的非零解向量即是A的对应于λ=0的特征向量,其应与对应于λ=2的特征向量ξ
1
正交,因ξ
1
η
1
=(一1,1,1)[*]=0,故η
1
是Ax=0的解向量,即是A的对应于λ=0的特征向量. 又ξ
2
η
2
=(一1,1,1)[*]=一2≠0,故η
2
不是Ax=0的解向量. (Ⅱ)求二次型即求其对应矩阵. 求对应λ=0的线性无关特征向量.设为ξ=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,由ξ
1
ξ=一x
1
+x
2
+x
3
=0,解得ξ
2
=η
1
=(1,1,0)
T
,ξ
3
=(1,0,1)
T
(ξ
2
,ξ
3
线性无关),则得 [*]
解析
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0
考研数学三
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