求幂级数的收敛域与和函数。

admin2019-11-04  28

问题 求幂级数的收敛域与和函数。

选项

答案[*]故该级数的收敛半径为r=1,收敛区间为(-1,1),x=±1 时 ,该级数变为常数项级数 [*] 显然[*]发散,[*]条件收敛,故[*]发散,则收敛域为(-1,1)。 [*] 记S1(x)=[*]则 [*] 记S2(x)=[*]则 [*] 逐项求导可得, [*] 故 [*] 令x=0,可得C=0,故S2(x)=[*]x≠0;x=0时,S2(0)=0。故 [*] 故原级数的和函数为 [*]

解析 如果则收敛半径为。求幂级数的和函数可以通过逐项求导或逐项积分变为常见的幂级数,再对和函数求积分或求导,这两种运算的收敛半径和原级数是一样的。
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