[2014年] 证明n阶矩阵相似.

admin2019-05-10  90

问题 [2014年]  证明n阶矩阵相似.

选项

答案由命题2.5.3.1(3)知只需证明两矩阵相似于同一对角矩阵. 证 记[*],因A为实对称矩阵必可对角化. 由∣λE—A∣=λn一nλn-1N-1(λ一n)=0可知A的特征值为n,0,0,…,0(n一1个0特征值)(或由命题2.5.1.3即得),故A~diag(n,0,0,…,0)=Λ.又由∣λE—B∣=(λ一n)λn-1=0得到B的n个特征值为n,0,0,…,0(n一1个零特征值). 当λ=0时,秩(0E一B)=秩(B)=1,则n-秩(0E—B)=n-1,即齐次方程组(0E—B)X=0有n一1个线性无关的解,亦即λ=0时,B有n一1个线性无关的特征向量. 又λ=n时,秩(nE一B)=n一1,则n-秩(nE—B)=n一(n一1)=1,即齐次线性方程组(nE一B)X=0有一个线性无关的解,亦即B的属于特征值λ=n的线性无关的特征向量只有一个,从而B有n个线性无关的特征向量,于是B必与对角矩阵相似,且B~Λ=diag(n,0,0,…,0),由相似的传递性:A~Λ~B得到A~B. 或由A~Λ存在可逆矩阵P1使P1-1AP1=Λ,由B~Λ知存在可逆矩阵P2-1BP2=Λ, 于是由P1-1AP1=P2-1BP2,得到P2P1-1AP1P2-1=(P1P2-1)-1AP1P2-1=B,令P=P1P2-1,则P可逆,且使P-1AP=B(此法常称为用合成的方法求可逆矩阵P),因而A~B.

解析
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