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  3. 若函数f(x，y)对任意正实数t，满足 f(tx，ty)=tn(x，y)， (*) 称f(x，y)为n次齐次函数．设f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为n次齐次函数 (**)

若函数f(x，y)对任意正实数t，满足 f(tx，ty)=tn(x，y)， (*) 称f(x，y)为n次齐次函数．设f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为n次齐次函数 (**)

admin2019-07-19  21
问题 若函数f(x，y)对任意正实数t，满足
f(tx，ty)=tn(x，y)，    (*)
称f(x，y)为n次齐次函数．设f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为n次齐次函数
   (**)
选项
答案设f(x，y)是n次齐次函数，按定义，得 f(tx，ty)=tnf(x，y)([*]t＞0)为恒等式．将该式两端对t求导，得 [*] 令t=1，则x[*](x，y)=nf(x，y)． 现设上式成立．考察φ(t)=[*]t＞0)，由复合函数求导法则可得 [*] 即φ(t)为常数，φ(t)=φ(1)=f(x，y)，即f(tx，ty)=tnf(x，y)．
解析 将题设等式(*)对t求导，由(*)可导出题设等式(**)．而由(**)导出(*)，即证对t＞0为常数，亦即证=0，其中关键是应用复合函数求导法则．
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