设二次型f(x1,x2,…,xn)=xTAx,且|A|<0. (Ⅰ)证明存在n维列向量ξ0,使得ξ0TAξ0<0; (Ⅱ)设A=,是否存在ξ0,使得ξ0TAξ0<0.若存在ξ0,则求ξ0,若不存在,说明理由.

admin2019-01-24  28

问题 设二次型f(x1,x2,…,xn)=xTAx,且|A|<0.
(Ⅰ)证明存在n维列向量ξ0,使得ξ0T0<0;
(Ⅱ)设A=,是否存在ξ0,使得ξ0T0<0.若存在ξ0,则求ξ0,若不存在,说明理由.

选项

答案(Ⅰ)设A有特征值λi,i=0,1,2,…,n-1,则|A|=[*]<0. 由上可知A有奇数个特征值小于零.设λ0<0,其对应的特征向量为ξ0,则有Aξ0=λ0ξ0,其中ξ0≠0. 两端右乘ξ0T,得ξ0T0=λ0ξ0Tξ0.因ξ0≠O,故有ξ0Tξ0>0. 又λ0<0,故ξ0T0=λ0ξ0Tξ0<0,得证存在n维列向量ξ0,使得ξ0T0<0. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知先求A的特征值.A的特征多项式为 [*] 由上可得A的负特征值λ0=-4.故知存在ξ0,使ξ0T0<0.其中ξ0是λ0=-4对应的特征向量. 由[*] 解得λ0=-4对应的特征向量为[*] 此时[*] 【注】对应于A的二次型为f(x1,x2,x3)=3x23+2x1x2+8x1x3+2x2x3,取x2=0时,有3x22+2x1x2+2x2x3=0,只需取x2,x3异号,即取ξ0=(-1,0,1)T时,有f<0.

解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/q91RFFFM
0

最新回复(0)