设平面上有界闭区域D由光滑曲线C围成,C取正向(如图10.18). (Ⅰ)P(x,y),Q(x,y)在D有连续的一阶偏导数,证明格林公式的另一种形式: dxdy=∫C(Pcosα+Qcosβ)ds, 其中n=(cosα,cosβ)是C的单位外法向量. (

admin2016-10-26  44

问题 设平面上有界闭区域D由光滑曲线C围成,C取正向(如图10.18).

(Ⅰ)P(x,y),Q(x,y)在D有连续的一阶偏导数,证明格林公式的另一种形式:
dxdy=∫C(Pcosα+Qcosβ)ds,
其中n=(cosα,cosβ)是C的单位外法向量.
(Ⅱ)设u(x,y),v(x,y)在D有连续的二阶偏导数,求证:
(10.7)
(Ⅲ)设u(x,y)在D有连续的二阶偏导数且满足

求证:u(x,y)=0((x,y)∈D).

选项

答案(Ⅰ)将格林公式 [*]dxdy=∫CPdx+Qdy 中Q换成P,P换成-Q,得 [*]dxdy=∫CPdy-Qdx. 由第一、二类曲线积分的关系得 ∫CPdy-Qdx=∫C[Pcos<T,j>-Qcos<T,j>]ds, 其中T是C的单位切向量且沿C的方向.注意<T,j>=<n,i>, <T,i>=π-<n,j>. 于是 ∫CPdy-Qdx=∫C[Pcos+Qcosds=∫C(Pcosα+Qcosβ)ds. 因此证得结论. (Ⅱ)由方向导数计算公式得[*] 再由格林公式的另一种形式(即题(Ⅰ)的结论)得 [*] 再移项即得证. (Ⅲ)因u(x,y)|C=0,要证u(x,y)≡0(x,y)∈D),只需证[*]=0((x,y)∈D).在(10.7)式中取v(x,y)=u(x,y),得 [*] [*]

解析
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