设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0, 证明: (I)存在εi∈(a,b),使得f(εi)=f〞(εi)(i=1,2); (Ⅱ)存在η∈(a,b),使得f(η)=f〞(η).

admin2014-05-19  32

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,
证明:
(I)存在εi∈(a,b),使得f(εi)=f〞(εi)(i=1,2);
(Ⅱ)存在η∈(a,b),使得f(η)=f〞(η).

选项

答案(I)令F(x)=[*]F(a)=F(b)=0, 由罗尔定理,存在c∈(a,b),使得Fˊ(c)=0,即f(c)=0. 令h(x)=e-xf(x),则h(a)=h(c)=h(b)=0, 由罗尔定理,存在ε1∈(a,c),ε2∈(c,b),使得hˊ(ε1)=hˊ(ε2)=0, 而hˊ(x)=e-x[fˊ(x)-f(x)]且e-x≠0,所以f(εi)=fˊ(εi)(i=1,2). (Ⅱ)令H(x)=ex[fˊ(x)-f(x)],Hˊ(x)=ex[f〞(x)-f(x)]. H(ε1)=H(ε2)=0,由罗尔定理,存在η∈(ε1,ε2)∈(a,b),使得Hˊ(η)=0, 注意到ex≠0,所以f(η)=f〞(η).

解析
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