设4维向量组α1=(1+α,1,1,1)T,α2=(2,2+α,2,2)T,α3=(3,3,3+α,3)T,α4=(4,4,4,4+α)T,问α为何值时,α1,α2,α3,α4线性相关?当α1,α2,α3,α4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向

admin2015-09-12  27

问题 设4维向量组α1=(1+α,1,1,1)T,α2=(2,2+α,2,2)T,α3=(3,3,3+α,3)T,α4=(4,4,4,4+α)T,问α为何值时,α1,α2,α3,α4线性相关?当α1,α2,α3,α4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关蛆线性:表出.

选项

答案解1 记A=(α1,α2,α3,α4),则 [*]于是当α=0或α=一10时,α1,α2,α3,α4线性相关. 当α=0时,α1≠0,且α2,α3,α4均可由α1线性表出,故α1为α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组,且α2=2α1,α3=3α1,α4=4α1. 当α=一10时,对A施以初等行变换,有 [*] 由于β2,β3,β4为β1,β2,β3,β4的一个极大线性无关组,且β1=一β2一β3一β4,故α2,α3,α4为α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组,且α1=一α2一α3一α4. 解2 记A=(α1,α2,α3,α4),对A施以初等行变换,有 [*] 当α=0时,A的秩为1,因而α1,α2,α3,α4线性相关,此时α1为,α1α2,α3,α4的一个极大线性无关组,且α2=2α1,α3=3α1,α4=4α1. 当α≠0时,再对B施以初等行变换,有 [*] 如果α≠一10,C的秩为4,从而A的秩为4,故α1,α2,α3,α4线性无关. 如果α=一10,C的秩为3,从而A的秩为3,故α1,α2,α3,α4线性相关. 由于γ2,γ3,γ4为γ1,γ2,γ3,γ4的一个极大线性无关组,且γ1=一γ2一γ3一γ4.于是α2,α3,α4为α1,α2,α3,α4的一个极大线性无关组,且α1=一α2一α3一α4

解析 本题综合考查向量组线性相关与线性无关,向量组的极大无关组等基本概念及线性表出问题的基本计算方法.本题当α=0时,容易观察得到所给向量组的秩为1,从而知极大无关组只含1个向量,于是选其中一个非零向量便可作极大无关组,而且线性表出问题也由观察即可直接得到.当α≠0时,无论是解1还是解2,都用到了一个重要结论:矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组之间的线性关系.
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/q4NRFFFM
0

相关试题推荐
最新回复(0)