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已知三元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx经正交变换化为y12+y22一2y32,又A*α=α,其中矩阵A*是矩阵A的伴随矩阵,α=(1,1,1)T,求此二次型的表达式.
已知三元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx经正交变换化为y12+y22一2y32,又A*α=α,其中矩阵A*是矩阵A的伴随矩阵,α=(1,1,1)T,求此二次型的表达式.
admin
2020-10-21
46
问题
已知三元二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax经正交变换化为y
1
2
+y
2
2
一2y
3
2
,又A
*
α=α,其中矩阵A
*
是矩阵A的伴随矩阵,α=(1,1,1)
T
,求此二次型的表达式.
选项
答案
因为二次型f=x
T
Ax经正交变换化为y
1
2
+y
2
2
—2y
3
2
,所以矩阵A的特征值分别为1,1,一2,从而|A|=一2,将A
*
α=α两端左乘矩阵A,得AA
*
α=Aα,由AA
*
=|A|E得Aα=—2α,故α=(1,1,1)
T
是矩阵A的特征值一2对应的特征向量. 设矩阵A的特征值1对应的特征向量α
1
=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,因为A是对称矩阵,所以 α
T
α
1
=x
1
+x
2
+x
3
=0, 取α
11
=(—1,一1,2)
T
,α
12
=(1,一1,0)
T
,则α
11
,α
12
是矩阵A的特征值1对应的特征向量,且正交. 将α
11
,α
12
,α单位化,得 [*] 取P=(β
1
,β
2
,β
3
)=[*],则P是正交矩阵,且 P
-1
AP=P
T
AP=A=[*] 所以 A=PAP
-1
=PAP
T
=[*] 故二次型的表达式为f=x
T
Ax=一2x
1
x
2
一2x
1
x
3
—2x
2
x
3
.
解析
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