证明:方程xα=lnx(α<0)在(0,+∞)上有且仅有一个实根.

admin2020-03-16  67

问题 证明:方程xα=lnx(α<0)在(0,+∞)上有且仅有一个实根.

选项

答案令f(x)=lnx-xα(α>0),则f(x)在(0,+∞)上4连续,f(1)=-1<0,[*]故对任意M>0,存在X>1,当x>X时,有f(x)>M>0.任取x0>X,则f(1)f(x0)<0,根据零点定理知,存在ξ∈(1,x0),使得f(ξ)=0,即方程xα=lnx在(0,+∞)上至少有一实根. 又lnx在(0,+∞)上单调递增,因α<0,一xα也单调递增,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增,因此方程f(x)=0在(0,+∞)上只有一个实根,即方程xα=lnx在(0,+∞)上只有一个实根.

解析
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