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  3. 已知fn(x)满足fˊn(x)=fn(x)+xn－1ex(n为正整数)，且fn(1)=，求函数项级数之和．

已知fn(x)满足fˊn(x)=fn(x)+xn－1ex(n为正整数)，且fn(1)=，求函数项级数之和．

admin2016-09-13  56
问题 已知fn(x)满足fˊn(x)=fn(x)+xn－1ex(n为正整数)，且fn(1)=，求函数项级数之和．
选项
答案由题设条件知，函数fn(x)满足一阶线性非齐次微分方程 fˊn(x)－fn(x)=xn－1ex， 其通解为fn(x)=ex([*]+C)． 由条件fn(1)=[*]得C=0，所以，fn(x)=ex[*]，于是 [*] 记S(x)=[*]，容易求出其收敛域为[－1，1)，且S(0)=0，当x∈(－1，1)时，求导得 Sˊ(x)=[*] 于是得S(x)=S(0)+∫0xSˊ (t)dt=∫0x[*]dt=－ln(1－x)． 由S(x)=－ln(1－x)在x=－1点的连续性知，上述和函数在x=－1点也成立．于是，当 －1≤x＜1时，有 [*]fn(x)=exS(x)=－exln(1－x)．
解析
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考研数学三

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