设f(x)在[0,1]上可导,f(0)=0,|f’(x)|≤|f(x)|.证明:f(x)≡0,x∈[0,1].

admin2018-11-22  20

问题 设f(x)在[0,1]上可导,f(0)=0,|f’(x)|≤|f(x)|.证明:f(x)≡0,x∈[0,1].

选项

答案因为f(x)在[0,1]上可导,所以f(x)在[0,1]上连续,从而|f(x)|在[0,1]上连续,故|f(x)|在[0,1]上取到最大值M,即存在x0∈[0,1],使得|f(x0)|=M. 当x0=0时,则M=0,所以f(x)≡0,x∈[0,1]; 当x0≠0时,M=|f(x0)|=|f(x0)一f(0)|=|f’(ξ)|x0≤|f’(ξ)|≤[*]|f(ξ)|≤[*], 其中ξ∈(0,x0),故M=0,于是f(x)≡0,x∈[0,1].

解析
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