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  3. 设f(x)在[0，1]上可导，f(0)＝0，｜f’(x)｜≤｜f(x)｜．证明：f(x)≡0，x∈[0，1]．

设f(x)在[0，1]上可导，f(0)＝0，｜f’(x)｜≤｜f(x)｜．证明：f(x)≡0，x∈[0，1]．

admin2018-11-22  23
问题 设f(x)在[0，1]上可导，f(0)＝0，｜f’(x)｜≤｜f(x)｜．证明：f(x)≡0，x∈[0，1]．
选项
答案因为f(x)在[0，1]上可导，所以f(x)在[0，1]上连续，从而｜f(x)｜在[0，1]上连续，故｜f(x)｜在[0，1]上取到最大值M，即存在x0∈[0，1]，使得｜f(x0)｜＝M． 当x0＝0时，则M＝0，所以f(x)≡0，x∈[0，1]； 当x0≠0时，M＝｜f(x0)｜＝｜f(x0)一f(0)｜＝｜f’(ξ)｜x0≤｜f’(ξ)｜≤[*]｜f(ξ)｜≤[*]， 其中ξ∈(0，x0)，故M＝0，于是f(x)≡0，x∈[0，1]．
解析
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考研数学一

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