设二次型f(x1，x2，x3)＝xTAx，其中二次型矩阵A的主对角元素的和为3。AB＝O，其中 (Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形，并求所做的正交变换； (Ⅱ)求该二次型的具体表达式。

admin2019-01-25 38

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)＝x^TAx，其中二次型矩阵A的主对角元素的和为3。AB＝O，其中

(Ⅰ)用正交变换化二次型为标准形，并求所做的正交变换；
(Ⅱ)求该二次型的具体表达式。

选项

答案根据已知条件[*]，因此矩阵B的3个列向量均为A的对应于特征值A＝0的特征向量，其中 β₁＝(1，2，1)^T，β₂＝(－2，1，0)，2β－β＝(4，3，2)^T，故λ＝0至少为矩阵A的二重特征值。根据A的主对角元素的和为3可得A还有一个特征值为3，因此属于矩阵A的特征值分别为0，0，3。矩阵A是一个实对称矩阵，因此属于特征值3的特征向量与属于特征值0的两个特征向量均正交，可得方程组[*]解得β₃＝(x₁，x₂，x₃)^T＝(1，2，－5)^T。故存在正交变换x＝Qy，其中 [*]

解析本题考查化二次型为标准形。第一问通过矩阵方程及主对角线元素的和可得出矩阵A的特征值，利用属于不同特征值的特征向量正交的性质求出A的所有特征向量，从而得出正交矩阵。第二问利用第一问的逆向变化计算矩阵的乘积即可得出矩阵A的具体形式。

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考研数学三

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求解微分方程—y=x2+y2．

求解微分方程(x+1)+1=2e—y．

微分方程F(x，y4，y’，(y")2)=0的通解中应含有()个任意常数．

已知A=[α1，α2，α3，α4]，其中α1，α2，α3，α4为四维列向量，方程组Ax=0的通解为k(2，一1，2，5)T，则α4可由α1，α2，α3，表示为__________．

讨论矩阵An×n=(n≥2)的秩．

设问a，k为何值时，β1+kβ2可由α1，α2，α3线性表示，并求其线性表示式．

设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且区域D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤b}，证明：[∫abf(x)dx]2(b—a)∫abf2(x)dx．

设随机变量X数学期望E(X)=11，方差D(X)=9，则根据契比雪夫不等式估计P{5＜X＜17}≥__________．

设f’(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，f’(a)f’(b)＞0，试证：至少存在一点ξ∈(a，b)，使f"(ξ)=0．

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患者，男性，19岁，患病1周，牙龈乳头坏死，前牙唇侧明显，坏死形成溃疡处凹陷，表面灰白色假膜，触之出血明显，口腔有腐性口臭。体温37．8℃，颏下淋巴结肿痛，既往未出现全身明显异常现象。有辅助诊断意义的检查是

行政法制监督是对国家行政机关和法律、法规授权组织及其公务人员的行政行为和职务行为，依法作出的一种()的行为。

在无权代理的情况下，由(　　)承担法律责任。

我国《商标法》中规定的注册商标包括()。

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