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  3. [2003年] 设矩阵A=，B=P-1A*P．求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

[2003年] 设矩阵A=，B=P-1A*P．求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

admin2021-01-19  72
问题 [2003年]  设矩阵A=，B=P-1A*P．求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．
选项
答案利用A的特征值、特征向量和相关联矩阵特征值、特征向量的关系间接求出B+2E的特征值、特征向量．第二种方法是先求出矩阵A*，再利用相似关系直接求出B+2E的特征值、特征向量．后者计算量较大． 解一 因a=3，b=2，由命题2．5．1．7知，A的三个特征值分别为 λ1=λ2=a一b=l， λ3=a+(n一1)b=3+(3—1)2=7． 又由命题2．5．2．1知∣A∣=λ1λ2λ3=1×l×7=7．于是A*的三个特征值为 λ1*=∣A∣／λ1=7， λ2*=∣A∣／λ2=7， λ3*=∣A∣／λ3=1． 因B～A*，故B的三个特征值为μ1=λ1*=7，μ2=λ2*=7，μ3=λ3*=1．于是B+2E的三个特征值分别为9，9，3． 先求出A的属于特征λ1=λ2=l及λ3=7的特征向量．因 λ1E一A=E—A=[*] 故A的属于λ1=λ2=l的特征向量分别为η1=[一1，1，0]T，η2=[一1，0，1]T．而 λ3E一A=7E一A=[*] 故A的属于λ3=7的特征向量为η3=[1，1，1]T．于是A*的属于特征值 λ1*=λ2*=7， λ3*=1的特征向量与A的对应特征向量相同，分别为η1，η2，η3． 于是，B的属于特征值μ1=μ2=7的特征向量可取为 β1=P-1η1=[*]， β2=P-1η2=[*]; B的属于特征值μ3=l的特征向量可取为 β3=P-1η3=[*] 故B+2E的特征值分别为9，9，3，属于特征值9(二重特征值)的全部特征向量为 k1β1+k2β2=k1[1，一1，0]T+k2[一1，一1，1]T，其中k1,k2不同时为零． B+2E的属于特征值3的全部特征向量为k3β3=k3[0，1，1]T，其中k3≠0．
解析
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考研数学二

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