求函数f(x)=(2一t)e-tdt的最值.

admin2018-11-21  27

问题 求函数f(x)=(2一t)e-tdt的最值.

选项

答案由于f(x)是偶函数,我们只需考察x∈[0,+∞).由变限积分求导公式得 f’(x)=2x(2一x2)[*]. 解f’(x)=0得x=0与x=[*],于是 [*] 从而,f(x)的最大值是f([*])=∫02(2一t)e-tdt=一∫02(2一t)de-t=(t一2)e-t02一∫02e-tdt =2+e-t02=1+e-2. 由上述单调性分析,为求最小值,只需比较f(0)与[*]f(x)的大小.由于 [*]f(x)=∫0+∞(2一t)e-tdt=[(t一2)e-t+e-t]||0+∞=1>f(0)=0, 因此f(0)=0是最小值.

解析 f(x)的定义域是(一∞,+∞),由于它是偶函数,故只需考虑x∈[0,+∞).求f’(x)和驻点并考察驻点两侧的单调性.由于需要考察f(0)是否为最值,还需讨论极限值f(x).
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