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(I)证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间(,1)内有且仅有一个实根; (Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为xn,证明xn存在,并求此极限。
(I)证明方程xn+xn-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间(,1)内有且仅有一个实根; (Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为xn,证明xn存在,并求此极限。
admin
2018-01-30
55
问题
(I)证明方程x
n
+x
n-1
+…+x=1(n为大于1的整数)在区间(
,1)内有且仅有一个实根;
(Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为x
n
,证明
x
n
存在,并求此极限。
选项
答案
(Ⅰ)根据题意,令 f(x)=x
n
+x
n-1
+…+x一1, 则f(1)>0,又 [*]<0。 结合零点定理可得,f(x)=x
n
+x
n-1
+…+x一1在([*],1)内至少存在一个零点,即方程x
n
+x
n-1
+…+x=1在区间([*],1)内至少有一个实根。 又因为f(x)=x
n
+x
n-1
+…+x一1在([*],1)上是单调的,可知f(x)=x
n
+x
n-1
+…+x一1在([*],1)内最多只有一个零点。 综上所述,方程x
n
+x
n-1
+…+x=1在区间([*],1)内有且仅有一个实根。 (Ⅱ)由题设f(x
n
)=0,可知x
n
n
+x
n
n-1
+…+x
n
一1=0,进而有x
n+1
n
+x
n+1
n
+…+x
n+1
一1=0, 所以 x
n+1
n
+x
n+1
n-1
+…+x
n+1
—1<0,比较上面两个式子可知x
n+1
<x
n
,故{x
n
}单调递减。 又由(Ⅰ)知[*]<X
n
<1,也即{x
n
}是有界的。则由单调有界收敛定理可知{x
n
}收敛,假设[*]x
n
=a,可知a<x
2
<x
1
=1。 当n→∞时, [*]
解析
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