2. 考研
  3. 在一个围棋擂台赛中，甲、乙两位选手轮流对擂主丙进行攻擂，每人一局甲先开始，直到将擂主丙攻下为止，规定只要丙输一局则为守擂失败，如果甲、乙对丙的胜率分别为p1与p2(0＜p1，p2＜1)．求： (Ⅰ)甲攻擂次数X1的概率分布； (Ⅱ)乙攻擂次

在一个围棋擂台赛中，甲、乙两位选手轮流对擂主丙进行攻擂，每人一局甲先开始，直到将擂主丙攻下为止，规定只要丙输一局则为守擂失败，如果甲、乙对丙的胜率分别为p1与p2(0＜p1，p2＜1)．求： (Ⅰ)甲攻擂次数X1的概率分布； (Ⅱ)乙攻擂次

admin2018-06-12  29
问题 在一个围棋擂台赛中，甲、乙两位选手轮流对擂主丙进行攻擂，每人一局甲先开始，直到将擂主丙攻下为止，规定只要丙输一局则为守擂失败，如果甲、乙对丙的胜率分别为p1与p2(0＜p1，p2＜1)．求：
    (Ⅰ)甲攻擂次数X1的概率分布；
    (Ⅱ)乙攻擂次数X2的概率分布；
    (Ⅲ)擂主丙对甲、乙二人守擂总次数X3的概率分布．
    (Ⅳ)假设乙对丙的胜率p2是1／4，若使甲、乙二人攻擂成功概率相等，求甲对丙的胜率．
选项
答案(Ⅰ)由于每次对局的胜率都不受其他局胜、负的影响，故这是一个独立试验序列问题． 事件“X1＝n”表示“甲与丙对阵n局”即“甲、乙各自与丙在前n－1次对局中均失败，在第n次对局中甲胜丙”或“甲、乙各自与丙在前n－1次对局中均失败，在第n次甲、丙对局中甲失败，但在乙、丙第n次对局中乙胜丙”，则 P{X1＝n}＝(q1q2)n-1(p1＋q1p2)，n＝1，2，…． 其中qi＝1－pi，i＝1，2． (Ⅱ)“X2＝0”表示甲与丙第一次对局攻擂成功，乙未上场．P{X2＝0}＝p1；“X2＝n”(n≥1)表示“甲、乙与丙各对阵n－1次均失败，甲、丙第n次对阵中甲又失败，但乙、丙第n次对阵中乙胜丙”或者“甲、乙与丙各对阵n次均失败．甲在第n＋1次与丙再对阵时胜丙”，则 P{X2＝n}＝(q1q2)n-1(q1p2＋q1q2p1)＝q1(p2＋q2p1)(q1q2)n-1，n＝1，2，…． (Ⅲ)显然若丙的守擂次数为奇数，则表示甲攻擂成功，否则为乙攻擂成功． “X3＝2n－1”表示“丙在前2n－2次守擂均成功，第2n－1次守擂失败”，即“甲、乙先与丙各对局n－1次均失败，而在甲与丙的第n次对局中甲胜丙”，因此有 P{X3＝2n－1}＝(q1q2)n-1p1，n＝1，2，…． 类似分析可知P{X3＝2n}＝(q1q2)n-1q1p2，n＝1，2，…． (Ⅳ)设事件A表示“甲攻擂成功”，则 [*] 若要甲、乙二人攻擂胜率相同，则P(A)＝1／2，即 [*] 将p2＝1／4代入上式，得p1＝1／5． 或[*] 甲、乙胜率相同的充分必要条件是P(A)＝P([*])，即 [*]
解析
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