设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(1)=0,求证:至少存在一点ξ∈(0,1),使得(2ξ+1)f(ξ)+ξf’(ξ)=0.

admin2016-01-22  13

问题 设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(1)=0,求证:至少存在一点ξ∈(0,1),使得(2ξ+1)f(ξ)+ξf’(ξ)=0.

选项

答案将欲证结论中的ξ换成x得(2x+1)f(x)+xf’(x)=0,即 [*] 上式两端求不定积分得ln|f(x)|=一2x一ln|x|+ln|c|,即c=xe2xf(x),故可构造辅助函数F(x)=ze2xf(x),则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 F(0)=0,F(1)=e2f(1)=0, 所以F(x)在闭区间[0,1]上满足罗尔定理的条件,从而至少存在一点ξ∈(0,1),使得F’(ξ)=0, 故(2ξ+1)f(ξ)+ξ

解析
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