证明:二次型f(x)=xTAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。

admin2019-01-23  44

问题 证明:二次型f(x)=xTAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。

选项

答案A为实对称矩阵,则存在正交矩阵Q,使得 QAQ-1=diag(λ1,λ2,…,λn)=A, 其中λ1,λ2,…,λn为A的特征值,不妨设λ1最大。 作正交变换y=Qx,即x=Q-1y=QTy,则 f=xTAx=yTQAQTy=yTΛy=λ1y122y22+…+λnyn2, 因为y=Qx,所以当||x||=1时,有 ||x||2=xTx=yTQQTy=||y||2=1, 即 y12+y22+…+yn2=1。 因此 f=λ1y122y22+…+λnyn2≤λ1(y12+y22+…+yn2)=λ1。 又当y1=1,y3=y2=…=yn=0时,=fλ1,所以fmax1

解析
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