设α1,α2为三维线性无关的列向量组,β1,β2为三维列向量组且都与α1,α2正交,又(β1,β2)=3, (Ⅰ)证明:α1,α2,β1线性无关,但β1,β2线性相关; (Ⅱ)令B=β1β2T,求|B+2E|.

admin2021-03-16  69

问题 设α1,α2为三维线性无关的列向量组,β1,β2为三维列向量组且都与α1,α2正交,又(β1,β2)=3,
(Ⅰ)证明:α1,α2,β1线性无关,但β1,β2线性相关;
(Ⅱ)令B=β1β2T,求|B+2E|.

选项

答案(Ⅰ)令k1α1+k2α2+k3β1=0, 由α1,α2与β1正交及(k1α1+k2α2+k3β1,β1)=0得k31,β1)=0, 再由β1为非零向量得(β1,β1)=|β12>0,从而k3=0, 于是k1α1+k2α2=0, 再由α1,α2线性无关得k1=k2=0,故α1,α2,β1线性无关. 令A=[*],则r(A)=2<3,齐次线性方程组AX=0含一个线性无关的解向量, 由Aβ1=0,Aβ2=0得β1,β2为AX=0的两个非零解,故β1,β1线性相关. (Ⅱ)由B2=3B得B的特征值为0和3, 因为λ1+λ2+λ3=tr(B)=(β1,β2)=3,所以B的特征值为0,0,3, 从而B+2E特征值为2,2,5, 故|B+2E|=20.

解析
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