对于任意二事件A1,A2,考虑二随机变量 试证明:随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立.

admin2016-09-19  42

问题 对于任意二事件A1,A2,考虑二随机变量

试证明:随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立.

选项

答案记Pi=P(Ai)(i=1,2),p12=P(A1A2),而ρ是X1和X2的相关系数.易见,随机变量X1和X2都服从0-1分布,并且 P{Xi=1}=P(Ai),P{Xi=0}=P([*]),P{X1=1,X2=1}=P(A1A2). (1)必要性.设随机变量X1和X2独立,则 P(A1A2)=P{X1=1,X2=1}=P{X1=1}P(X2=1)=P(A1)P(A2). 从而,事件A1和A2相互独立. (2)充分性.设事件A1和A2相互独立,则[*]和A2,A1和[*]也都独立,故 P{X1=0,X2=0}=[*] =P{X1=0}P{X20}, P{X1=0,X2=1}=[*] =P{X1=0}P{X2=1}, P{X1=1,X2=0}=[*] =P{X1=1}P{X2=0}, P{X1=1,X2=1}=P(A1A2)=P(A1)P(A2) =P{X1=1}P{X2=1}. 从而,随机变量X1和X2相互独立.

解析
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