[2013年] 设奇函数f(x)在[-1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1；

admin2019-04-08 37

问题 [2013年] 设奇函数f(x)在[-1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：
存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1；

选项

答案由f’(ξ)=1，得f’(ξ)一1=0，[f(x)-x]’｜_x=ξ=0，因而令辅助函数F(x)=f(x)一x．因F(1)=f(1)一1=1—1=0，又f(x)为奇函数，故f(0)=0，于是 F(0)=f(0)一0=0．显然f(x)在区间[0，1]上满足罗尔定理的其他条件，由该定理知存在ξ∈(0，1)，使F’(ξ)=0，即 f’(ξ)一1=0，f’(ξ)=1．

解析

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考研数学一

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