2. 考研
  3. A是m×n矩阵，线性方程组AX＝b有唯一解的充分必要条件是( )．

A是m×n矩阵，线性方程组AX＝b有唯一解的充分必要条件是( )．

admin2016-01-25  31
问题 A是m×n矩阵，线性方程组AX＝b有唯一解的充分必要条件是(    )．
选项 A、m＝n且｜A｜≠0
B、导出组AX＝0有且仅有零解
C、A的列向量组α1，α2，…，αn与α1，α2，…，αn，b等价
D、r(A)＝n，且b可由A的列向量组线性表出
答案D
解析 利用AX＝b有唯一解的充分必要条件是r(A)＝r()＝n去判别．
当m＝n时，必有
  r(A)＝r()，
因而必有解．又｜A｜≠0，即m＝n＝r(A)，则AX＝b必有唯一解．这也可由克拉默法则得知，但并不必要．当m≠n时，方程组也可能有唯一解．例如
   AX＝b有唯一解．
(C)是AX＝b有唯一解的必要条件，并非充分条件，即两个向量组α1，α2，…，αn与α1，α2，…，αn，b等价是方程组AX＝b有解的充要条件，是有唯一解的必要条件．例如
  
AX＝b有解，但解不唯一．
(B)是AX＝b有唯一解的必要条件，并非充分条件．因这时不能保证r(A)＝r()．如AX＝0有非零解，则AX＝b必没有唯一解，它可能有无穷多解，亦可能无解．当AX＝0只有零解时，AX＝b可能有唯一解，也可能无解，并不能保证必有唯一解．例如

AX＝0仅有零解，而AX＝b并无解．
(D)秩r(A)＝n表明A的列向量组线性无关，因而如AX＝b有解，则解必唯一．仅r(A)＝n还不能保证r(A)＝r()，因而不能保证AX＝b有解(参见(B)中反例)，b可由A的列向量组线性表出是AX＝b有解的充要条件，这两个条件结合才能保证
r(A)＝r()＝n．
因而它们才是AX＝b有唯一解的充要条件．仅(D)入选．
注意  (B)、(C)均是必要条件，前者不能保证r(A)＝r()，因而不能保证AX＝b必有解，后者不能保证AX＝b的解唯一．A的列向量线性相关，AX＝b绝对没有唯一解，列向量组线性无关最多有唯一解．
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考研数学三

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