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设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且｜f’(x)｜＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于x1，x2∈[0，1]，有 ｜f(x1)-f(x2)｜＜
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且｜f’(x)｜＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于x1，x2∈[0，1]，有 ｜f(x1)-f(x2)｜＜
admin
2019-03-21
15
问题
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且｜f’(x)｜＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于
x
1
，x
2
∈[0，1]，有
｜f(x
1
)-f(x
2
)｜＜
选项
答案
联系f(x
1
)-f(x
2
)与f’(x)的是拉格朗日中值定理．不妨设0≤x
1
≤x
2
≤1．分两种情形： 1)若x
2
-x
1
＜[*]，直接用拉格朗日中值定理得 ｜f(x
1
)-f(x
2
)｜=｜f’(ξ)(x
1
-x
1
)｜=｜f’(ξ)｜｜x
2
-x
1
｜＜[*] 2)若x
2
-x
1
≥[*]，当0＜x＜1时，利用条件f(0)=f(1)分别在[0，x
1
]与[x
2
，1]上用拉格朗日中值定理知存在ξ∈(0，x
1
)，η∈(x
2
，1)使得 ｜f(x
1
)-f(x
2
)｜=｜[f(x
1
)-f(0)]-[f(x
2
)-f(1)]｜≤｜f(x
1
)-f(0)｜+｜f(1)-f(x
2
)｜ =｜f’(ξ)x
1
｜+｜f’(η)(1-x
2
)｜＜x
1
+(1-x
2
)=1-(x
2
-x
1
)≤[*] ①当x
1
=0且x
2
≥[*]时，有 ｜f(x
1
)-f(x
2
)｜=｜f(0)-f(x
2
)｜=｜f(1)-f(x
2
)｜=｜f’(η)(1-x
2
)｜＜[*] ②当x
1
≤[*]且x
2
=1时，同样有 ｜f(x
1
)-f(x
2
)｜=｜f(x
1
)-f(1)｜=｜f(x
1
)-f(0)｜=｜f’(ξ)(x
1
-0)｜＜[*] 因此对于任何x
1
，x
2
∈[0，1]总有 ｜f(x
1
)-f(x
2
)｜＜[*]
解析
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