设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x3+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=yx12+yx22+4yx32，求参数a，6及正交矩阵Q．

admin2019-01-05 18

问题设二次型f=2x₁²+2x₂²+ax₃²+2x₁x₃+2bx₁x₃+2x₂x₃经过正交变换X=QY化为标准形f=yx₁²+yx₂²+4yx₃²，求参数a，6及正交矩阵Q．

选项

答案二次型，f=2x₁²+2x₂²+a₃²+2x₁x₂+2bx₁x₃+2x₂x₃的矩阵形式为 f=X^TAX 其中 [*] 因为Q^TAQ=B=[*]，所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4．而|λE一A|=λ³一(a+4)λ²+(4a一b²+2)λ+(一3a一2b+2b²+2)，所以有 λ³一(a+4)λ²+(4a一b²+2)λ+(一3a一2b+2b²+2)=(λ一1)²(λ一4)，解得a=2，b=1．当λ₁=λ₂=1时，由(E一A)X=0得ξ₁=[*] 由λ₃=4时，由(4E一A)X=0得ξ₃=[*] 显然ξ₁，ξ₂，ξ₃两两正交，单位化为 [*]

解析

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考研数学三

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设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x3+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=yx12+yx22+4yx32，求参数a，6及正交矩阵Q．

考研数学三

设函数y=y（x）由方程ylny—x+y=0确定，试判断曲线y=y（x）在点（1，1）附近的凹凸性。

设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2，记（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

已知二次型f（x1，x2，x3）=（1—a）x12+（1—a）x22+2x32+2（1+a）x1x2的秩为2。（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x1，x2，x3）化为标准形；（Ⅲ）求方程f（x1，x2，x3）=0的解。

设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。（Ⅰ）证明B可逆；（Ⅱ）求AB—1。

设幂级数anxn在（一∞，+∞）内收敛，其和函数y（x）满足y"—2xy’—4y=0，y（0）=0，y’（0）=1（Ⅰ）证明：an+2=an，n=1，2，…；（Ⅱ）求y（x）的表达式。

设a1=2，an+1=（n=1，2，…）。证明：

曲线y=的过原点的切线是________。

设f（x，y）为连续函数，则f（rcosθ，rsinθ）rdr等于（）

设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所围成，则二重积分

设总体X服从几何分布：p（x；p）=p（1一p）x—1（x=1，2，3，…），如果取得样本观测值为x1，x2，…，xn，求参数p的矩估计值与最大似然估计值。

A．近部选穴B．远部选穴C．对证选穴D．对症选穴肾阴不足导致的虚热选肾俞、太溪，体现的选穴规律是

小学生在学习加法时，需要利用小石子、小木棒、手指等完成计算活动。依据加里培林“儿童智力活动按阶段形成理论”，这种智力活动处于()。

休克持续多长时间易继发肺、肾、心、脑功能衰竭【】

编制人工定额时，工人工作必需消耗的时间包括()。

工程质量监督机构，应在竣工验收之日起()个工作日内，向备案机关提交工程质量监督报告。

公安机关在行使权力过程中使用武器、警械，就其性质来讲，与《刑法》所规定的公民正当防卫没有原则区别。()

随着国际文化交流的日益频繁，各国文学读物大量涌现，使人_，其中不乏各种文化珍品的翻译精编，但也有选材不严的_现象，为读者所诟病。依次填入画横线中最恰当的一项是()。

已知a是常数，且矩阵可经初等列变换化为矩阵求满足AP=B的可逆矩阵P．

ThegovernmenthasdecidedtobuildanuclearpowerstationatLongbeach,anisolatedfishingvillage.Agroupofdemonstrators

Anybrainexerciseisbetterthanbeingatotalmentalcouchpotato.Buttheactivitieswiththemost【C1】______arethosethatr

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设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2，记（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

已知二次型f（x1，x2，x3）=（1—a）x12+（1—a）x22+2x32+2（1+a）x1x2的秩为2。（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求正交变换x=Qy，把f（x1，x2，x3）化为标准形；（Ⅲ）求方程f（x1，x2，x3）=0的解。

设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。（Ⅰ）证明B可逆；（Ⅱ）求AB—1。

设幂级数anxn在（一∞，+∞）内收敛，其和函数y（x）满足y"—2xy’—4y=0，y（0）=0，y’（0）=1（Ⅰ）证明：an+2=an，n=1，2，…；（Ⅱ）求y（x）的表达式。

设a1=2，an+1=（n=1，2，…）。证明：

曲线y=的过原点的切线是________。

设f（x，y）为连续函数，则f（rcosθ，rsinθ）rdr等于（）

设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所围成，则二重积分

设总体X服从几何分布：p（x；p）=p（1一p）x—1（x=1，2，3，…），如果取得样本观测值为x1，x2，…，xn，求参数p的矩估计值与最大似然估计值。

A．近部选穴B．远部选穴C．对证选穴D．对症选穴肾阴不足导致的虚热选肾俞、太溪，体现的选穴规律是

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休克持续多长时间易继发肺、肾、心、脑功能衰竭【】

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