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设,A=αβT,B=βTα,其中βT是β的转置,求解方程 2B2A2x=A4x+B4x+γ.
设,A=αβT,B=βTα,其中βT是β的转置,求解方程 2B2A2x=A4x+B4x+γ.
admin
2021-01-19
31
问题
设
,A=αβ
T
,B=β
T
α,其中β
T
是β的转置,求解方程
2B
2
A
2
x=A
4
x+B
4
x+γ.
选项
答案
由题设,有 [*] 且进一步有 A
2
=αβ
T
αβ
T
=α(β
T
α)β
T
=2A, A
4
=8A. 代入原方程化简,得 16Ax=8Ax+16x+γ, 即8(A-2E)x=γ. 令x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,代入上式,得到非齐次线性方程组 [*] 其对应齐次方程组的通解为[*](k为任意常数),非齐次线性方程组的一个特解为 [*] 于是所求方程的通解为x=ξ+η
*
,即 [*](k为任意常数).
解析
[分析] 本题的方程表面上看很复杂,但注意到
,而
=αβ
T
是3阶矩阵,且有A
2
=αβ
T
αβ
T
=α(β
T
α)β
T
2A后,即可方便地化简.
[评注] 一般地,设α=(a
1
,a
2
,…a
n
),β=(b
1
,b
2
,…,b
n
),则
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考研数学二
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