设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3。(Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关；(Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)，求P-1AP。

admin2021-01-25 53

问题设A为三阶矩阵，α₁，α₂为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α₃满足Aα₃=α₂+α₃。(Ⅰ)证明α₁，α₂，α₃线性无关；(Ⅱ)令P=(α₁，α₂，α₃)，求P^-1AP。

选项

答案(Ⅰ)方法一：假设α₁，α₂，α₃线性相关。因为α₁，α₂是分别属于不同特征值的特征向量，故α₁，α₂线性无关，则α₃可由α₁，α₂线性表出，不妨设α₃=l₁α₁+l₂α₂，其中l₁，l₂不全为零(若l₁，l₂同时为0，则α₃为0，由Aα₃=α₂+α₃可知α₂=0，而特征向量都是非零向量，因此矛盾)。由Aα₁=一α₁，Aα₂=α₂，得Aα₃=α₂+α₃=α₂+l₁α₁+l₂α₂，又Aα₃=A(l₁α₁+l₂α₂)=一l₁α₁+l₂α₂，则一l₁α₁+l₂α₂=α₂+l₁α₁+l₂α₂。整理得2l₁α₁+α₂=0，则α₁，α₂线性相关，矛盾。所以，α₁，α₂，α₃线性无关。方法二：设存在数k₁，k₂，k₃，使得k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0， (1) 用A左乘(1)的两边并由Aal=一51，Aa 2—52得一k₁α₁+(k₂+k₃)α₂+k₃α₃=0， (2) (1)一(2)得 2k₁α₁一k₃α₂=0。因为α₁，α₂是A的属于不同特征值的特征向量，所以α₁，α₂线性无关，从而k₁=k₃=0，代人(1)得k₂α₂=0，又由于α₂≠0，所以k₂=0，故α₁，α₂，α₃线性无关。 (Ⅱ)记P=(α₁，α₂，α₃)，由(Ⅰ)得P可逆，且 AP=A(α₁，α₂，α₃)=(Aα₁，Aα₂，Aα₃)=(一α₁，α₂，α₂+α₃) =(α₁，α₂，α₃)[*] 所以P^-1AP=[*]。

解析

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考研数学三

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设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3。(Ⅰ)证明α1，α2，α3线性无关；(Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)，求P-1AP。

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