设A为三阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值一1,1的特征向量,向量α3满足Aα3=α2+α3。(Ⅰ)证明α1,α2,α3线性无关;(Ⅱ)令P=(α1,α2,α3),求P-1AP。

admin2021-01-25  56

问题 设A为三阶矩阵,α1,α2为A的分别属于特征值一1,1的特征向量,向量α3满足Aα323。(Ⅰ)证明α1,α2,α3线性无关;(Ⅱ)令P=(α1,α2,α3),求P-1AP。

选项

答案(Ⅰ)方法一:假设α1,α2,α3线性相关。因为α1,α2是分别属于不同特征值的特征向量,故α1,α2线性无关,则α3可由α1,α2线性表出,不妨设α3=l1α1+l2α2,其中l1,l2不全为零(若l1,l2同时为0,则α3为0,由Aα323可知α2=0,而特征向量都是非零向量,因此矛盾)。 由Aα1=一α1,Aα22,得Aα3232+l1α1+l2α2,又Aα3=A(l1α1+l2α2)=一l1α1+l2α2,则一l1α1+l2α22+l1α1+l2α2。 整理得2l1α12=0,则α1,α2线性相关,矛盾。所以,α1,α2,α3线性无关。 方法二:设存在数k1,k2,k3,使得k1α1+k2α2+k3α3=0, (1) 用A左乘(1)的两边并由Aal=一51,Aa 2—52得 一k1α1+(k2+k32+k3α3=0, (2) (1)一(2)得 2k1α1一k3α2=0。 因为α1,α2是A的属于不同特征值的特征向量,所以α1,α2线性无关,从而k1=k3=0,代人(1)得k2α2=0,又由于α2≠0,所以k2=0,故α1,α2,α3线性无关。 (Ⅱ)记P=(α1,α2,α3),由(Ⅰ)得P可逆,且 AP=A(α1,α2,α3)=(Aα1,Aα2,Aα3)=(一α1,α2,α23) =(α1,α2,α3)[*] 所以P-1AP=[*]。

解析
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