设f(x)在区间[a,b]上阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫abf(x)dx=(b-a)f’’(ξ).

admin2018-05-23  32

问题 设f(x)在区间[a,b]上阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫abf(x)dx=(b-a)f’’(ξ).

选项

答案令F(x)=∫axf(t)dt,则F(x)在[a,b]上三阶连续可导,取x0=[*],由泰勒公式得 F(a)=F(x0)+F(x0)(a一x0)+[*](a一x0)3,ξ1∈(a,x0), F(b)=F(x0)+F(x0)(b一x0)+[*](b一x0)3,ξ2∈(x0,b), 两式相减得F(b)一F(a)=F(x0)(b一a)+[*][F’’’1)+F’’’2)],即 ∫abf(x)=(b一a)[*][f’’1)+f’’2)], 因为f’’(x)在[a,b]上连续,所以存在ξ∈[ξ1,ξ2][*](a,b),使得 f’’(ξ)=[*][f’’1)+f’’2)],从而 ∫abf(x)dx=(b一a)[*]=f’’(ξ).

解析
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