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利用施瓦兹不等式证明： 若f，g都在[a，b]上可积，则有闵可夫斯基(Minkowski)不等式： [∫ab(f(x)+g(x))2dx]1／2≤[∫abf2(x)dx]1／2+[∫abg2(x)dx]1／2．
利用施瓦兹不等式证明： 若f，g都在[a，b]上可积，则有闵可夫斯基(Minkowski)不等式： [∫ab(f(x)+g(x))2dx]1／2≤[∫abf2(x)dx]1／2+[∫abg2(x)dx]1／2．
admin
2022-11-23
6
问题
利用施瓦兹不等式证明：
若f，g都在[a，b]上可积，则有闵可夫斯基(Minkowski)不等式：
[∫
a
b
(f(x)+g(x))
2
dx]
1／2
≤[∫
a
b
f
2
(x)dx]
1／2
+[∫
a
b
g
2
(x)dx]
1／2
．
选项
答案
由施瓦兹不等式，得 ∫
a
b
(f(x)+g(x))
2
dx=∫
a
b
f
2
(x)dx+z∫
a
b
f(x)g(x)dx+∫
a
b
g
2
(x)dx ≤∫
a
b
f
2
(x)dx+2[∫
a
b
f
2
(x)dx·∫
a
b
g
2
(x)dx]
1／2
+∫
a
b
g
2
(x)dx =[(∫
a
b
f
2
(x)dx)
1／2
+(∫
a
b
g
2
(x)dx)
1／2
]
2
． 故[∫
a
b
(f(x)+g(x))
2
dx]
1／2
≤[∫
a
b
f
2
(x)dx]
1／2
+[∫
a
b
g
2
(x)dx]
1／2
．
解析
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考研数学三
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