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设f(u)(u>0)有连续的二阶导数且z=f(ex2-y2)满足方程=16(x2+y2)z,求f(u).
设f(u)(u>0)有连续的二阶导数且z=f(ex2-y2)满足方程=16(x2+y2)z,求f(u).
admin
2016-10-26
20
问题
设f(u)(u>0)有连续的二阶导数且z=f(e
x
2
-y
2
)满足方程
=16(x
2
+y
2
)z,求f(u).
选项
答案
令u=e
x
2
-y
2
,则有 [*] 其中[*]=-2ye
x
2
-y
2
=-2yu. 进而可得 [*]=4x
2
u
2
f″(u)+(2u+4x
2
u)f′(u), [*]=4y
2
u
2
f″(u)-(2u-4y
2
u)f′(u). 所以[*]=4(x
2
+y
2
)u
2
f″(u)+4(x
2
+y
2
)uf′(u). 由题设条件,得 u
2
f″(u)+uf′(u)-4f(u)=0. 这是欧拉方程,令u=e
t
,方程化为 [*]-4z=0(z=f(u)), 解此二阶线性常系数齐次方程得 z=C
1
e
2t
+C
2
e
-2t
,即z=f(u)=C
1
u
2
+[*],其中C
1
,C
2
为[*]常数.
解析
z=f(e
x
2
-y
2
)是z=f(u)与u=e
x
2
-y
2
的复合函数,由复合函数求导法可导出
与f′(u),f″(u)的关系式,从而由
=16(x
2
+y
2
)z导出f(u)的微分方程式,然后解出f(u).
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考研数学一
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