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  3. 设f(u)(u＞0)有连续的二阶导数且z=f(ex2－y2)满足方程=16(x2+y2)z，求f(u)．

设f(u)(u＞0)有连续的二阶导数且z=f(ex2－y2)满足方程=16(x2+y2)z，求f(u)．

admin2016-10-26  20
问题 设f(u)(u＞0)有连续的二阶导数且z=f(ex2－y2)满足方程=16(x2+y2)z，求f(u)．
选项
答案令u=ex2－y2，则有 [*] 其中[*]=－2yex2－y2=－2yu． 进而可得 [*]=4x2u2f″(u)+(2u+4x2u)f′(u)， [*]=4y2u2f″(u)－(2u－4y2u)f′(u)． 所以[*]=4(x2+y2)u2f″(u)+4(x2+y2)uf′(u)． 由题设条件，得 u2f″(u)+uf′(u)－4f(u)=0． 这是欧拉方程，令u=et，方程化为 [*]－4z=0(z=f(u))， 解此二阶线性常系数齐次方程得 z=C1e2t+C2e－2t，即z=f(u)=C1u2+[*]，其中C1，C2为[*]常数．
解析 z=f(ex2－y2)是z=f(u)与u=ex2－y2的复合函数，由复合函数求导法可导出与f′(u)，f″(u)的关系式，从而由=16(x2+y2)z导出f(u)的微分方程式，然后解出f(u)．
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