[2011年] 设I=∫0π/4lnsinx dx，J=∫0π/4lncotx dx，K=∫0π/4lncosx dx，则I，J，K的大小关系是( )．

admin2021-01-19 56

问题 [2011年] 设I=∫₀^π/4lnsinx dx，J=∫₀^π/4lncotx dx，K=∫₀^π/4lncosx dx，则I，J，K的大小关系是( )．

选项 A、I＜J＜K
B、I＜K＜J
C、J＜I＜K
D、K＜J＜I

答案B

解析利用命题1.3．2．5(1)判别．为此，先判别被积函数在[0，π／4]上的大小．
因J，J，K的积分区间相同，只需比较在(0，π／4)内被积函数的大小．事实上，当0＜x＜π／4时，sinx，cotx，
cosx的图形如图1．3．2．4所示．显然有cotx＞1＞cosx＞sinx．又因为lnx在(0，+∞)内单调增加，故lncotx＞lncosx＞lnsinx．因而
∫₀^π/4lncotx dx＞∫₀^π/4lncosx dx＞∫₀^π/4lnsinx dx，
即I＜K＜J．仅(B)入选．

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