2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为三个线性无关的向量组，已知Aα1＝2α1＋α2＋α3 ，Aα2＝3α1－α3，Aα3＝－α3． (Ⅰ)求｜A*＋2E｜； (Ⅱ)判断A是否可相似对角化，说明理由．

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为三个线性无关的向量组，已知Aα1＝2α1＋α2＋α3 ，Aα2＝3α1－α3，Aα3＝－α3． (Ⅰ)求｜A*＋2E｜； (Ⅱ)判断A是否可相似对角化，说明理由．

admin2021-03-16  43
问题 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为三个线性无关的向量组，已知Aα1＝2α1＋α2＋α3 ，Aα2＝3α1－α3，Aα3＝－α3．
(Ⅰ)求｜A*＋2E｜；
(Ⅱ)判断A是否可相似对角化，说明理由．
选项
答案(Ⅰ)令P＝(α1，α2，α3)，且P可逆， 由Aα1＝2α1＋α2＋α3，Aα2＝3α1－α3，Aα3＝－α3得 AP＝P[*]，或P－1AP＝[*]＝B，即A～B， 由｜λE－B｜＝[*]＝(λ＋1)2(λ－3)＝0得 矩阵B的特征值为λ1＝λ2＝－1，λ3＝3， 从而矩阵A的特征值为λ1＝λ2＝－1，λ3＝3， 由｜A｜＝3得A*的特征值为－3，－3，1，则A*＋2E的特征值为－1，－1，3， 故｜A*＋2E｜＝3． (Ⅱ)－E－B→E＋B＝[*] 由r(－E－B)＝2得矩阵B不可相似对角化，故A不可相似对角化．
解析
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考研数学二

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