2. 考研
  3. 设f(x)在x＝0处3阶可导，且f′(0)＝0，f″(0)＝0，＞0，则( )．

设f(x)在x＝0处3阶可导，且f′(0)＝0，f″(0)＝0，＞0，则( )．

admin2016-01-25  15
问题 设f(x)在x＝0处3阶可导，且f′(0)＝0，f″(0)＝0，＞0，则(    )．
选项 A、x＝0是f(x)的极小值点
B、x＝0是f(x)的极大值点--
C、在点(0，f(0))的左、右邻域曲线y＝f(x)分别为凹与凸
D、在点(0，f(0))的左、右邻域曲线y＝f(x)分别为凸与凹
答案D
解析 利用泰勒展开式及相关概念的定义判别之．
解一  由泰勒公式及题设得到
    f(x)＝f(0)＋f′(0)＋(0)x3＋o(x3)，
    f(x)－f(0)＝(0)x3z＋o(x3)．
故当｜x｜充分小且x＜0时，f(x)一f(0)＜0；当x＞0时，f(x)一f(0)＞0．因而f(0)不是极值，排除(A)、(B)．
又将f″(x)按皮亚诺余项展开，有
    f″(x)＝f″(0)＋(0)x＋o(x)．
当｜x｜充分小且x＜0时，f″(x)＜0(因(0)＞0)，故曲线y＝f(x)在点(0，f(0))的左侧邻域为凸．
当x＞0时，因(0)＞0，故f″(x)＞0，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))的右侧邻域为凹仅(D)入选．
解二  利用可得到上述结论．
事实上，由x＜0得到在点(0，f(0))的左侧邻域f″(x)＜0，曲线y＝f(x)为凸；当x＞0时，f″(x)＞0，故在点(0，f(0))的右侧邻域为凹．
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考研数学三

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