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设f(x)在x=0处3阶可导,且f′(0)=0,f″(0)=0,>0,则( ).
设f(x)在x=0处3阶可导,且f′(0)=0,f″(0)=0,>0,则( ).
admin
2016-01-25
15
问题
设f(x)在x=0处3阶可导,且f′(0)=0,f″(0)=0,
>0,则( ).
选项
A、x=0是f(x)的极小值点
B、x=0是f(x)的极大值点--
C、在点(0,f(0))的左、右邻域曲线y=f(x)分别为凹与凸
D、在点(0,f(0))的左、右邻域曲线y=f(x)分别为凸与凹
答案
D
解析
利用泰勒展开式及相关概念的定义判别之.
解一 由泰勒公式及题设得到
f(x)=f(0)+f′(0)+
(0)x
3
+o(x
3
),
f(x)-f(0)=
(0)x
3
z+o(x
3
).
故当|x|充分小且x<0时,f(x)一f(0)<0;当x>0时,f(x)一f(0)>0.因而f(0)不是极值,排除(A)、(B).
又将f″(x)按皮亚诺余项展开,有
f″(x)=f″(0)+
(0)x+o(x).
当|x|充分小且x<0时,f″(x)<0(因
(0)>0),故曲线y=f(x)在点(0,f(0))的左侧邻域为凸.
当x>0时,因
(0)>0,故f″(x)>0,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))的右侧邻域为凹仅(D)入选.
解二 利用
可得到上述结论.
事实上,由x<0得到在点(0,f(0))的左侧邻域f″(x)<0,曲线y=f(x)为凸;当x>0时,f″(x)>0,故在点(0,f(0))的右侧邻域为凹.
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考研数学三
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