已知矩形的周长为2p，将它绕其中一边旋转一周而构成一旋转体(圆柱体)，求该圆柱体的半径与高各为多少时，该圆柱体体积最大?

admin2021-08-02 42

问题已知矩形的周长为2p，将它绕其中一边旋转一周而构成一旋转体(圆柱体)，求该圆柱体的半径与高各为多少时，该圆柱体体积最大?

选项

答案设该圆柱体的半径为x，高为y，则x+y=p，该圆柱体体积V=πyx²．方法一用拉格朗日乘数法，设 F(x，y，λ)=πyx²+λ(x+y—p)，令[*]，有 2πxy+λ=0，πx²+λ=0，x+y—P=0．由上可解得唯一一组解[*]由于存在最大值，又解得唯一一组解，故当半径为[*]高为[*]时，该圆柱体体积最大．方法二化成一元函数极值问题． V=πyx²=π(p—x)x²=πpx²一πx³，0＜x＜p． V’=2πpx—3πx²， V”2πp—6πx．令V’=0，得 [*] 所以当半径[*]时，体积V为极大值，且是唯一驻点，故当[*]时V最大．

解析

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考研数学二

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