设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2). (1)证明方程fn(x)=1有唯一的正根xn; (2)求xn.

admin2018-05-22  27

问题 设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2).
(1)证明方程fn(x)=1有唯一的正根xn
(2)求xn.

选项

答案(1)令φn(x)=f(x)-1,因为φn(0)=-1<0,φn(1)=n-1>0,所以φn(x)在(0,1)[*](0,+∞)内有一个零点,即方程fn(x)=1在(0,+∞)内有一个根. 因为φ’n(x)=1+2x+…+nxn-1>0,所以φn(x)在(0,+∞)内单调增加,所以φn(x)在(0,+∞)内的零点唯一,所以方程f(x)=1在(0,+∞)内有唯一正根,记为xn, (2)由fn(xn)-fn-1(xn-1)=0,得 (xn-xn-1)+(xn2-xn-12)+…+(xnn-xn+1n)=xn+1n+1>0,从而xn>xn-1,所以{xn}n-1单调减少,又xn>0(n=1,2,…),故[*]xn存在,设[*]xn=A,显然A≤xn≤x1=-1,由xn+xn2+…+xnn=1,得[*]=1,两边求极限得[*]=1,解得A=[*]

解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/nCdRFFFM
0

最新回复(0)