设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)f(b)>0,f(a)<0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=f(ξ).

admin2016-09-30  34

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)f(b)>0,f(a)<0.证明:存在ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=f(ξ).

选项

答案不妨设f(a)>0,f(b)>0,[*]<0,令(P(x)=e一xf(x),则 φ’(x)=e一x[f’(x)一f(x)]. 因为φ(a)>0,[*]<0,φ(b)>0,所以存在ξ1∈[*],ξ2∈[*], 使得φ(ξ1)=φ(ξ2)=0,由罗尔定理,存在ξ∈(ξ1,ξ2)[*](a,b),使得φ’(ξ)=0, 即e一ξ[f’(ξ)一f(ξ)]=0,因为e一ξ≠0,所以f’(ξ)=f(ξ).

解析
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