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  3. 设n为正整数，f(x)=(x-1)n(x+1)n．证明方程f(n)(x)=0在(-1，1)中恰好有n个相异实根．

设n为正整数，f(x)=(x-1)n(x+1)n．证明方程f(n)(x)=0在(-1，1)中恰好有n个相异实根．

admin2022-11-23  10
问题 设n为正整数，f(x)=(x-1)n(x+1)n．证明方程f(n)(x)=0在(-1，1)中恰好有n个相异实根．
选项
答案设n为正整数，f(x)=(x-1)n(x+1)n．证明方程f(n)(x)=0在(-1，1)中恰好有n个相异实根．@证@∵±1为方程f(x)=0的n重根，于是该方程有2n个实根．由于 f’(x)=n(x-1)n-1(x+1)n+n(x-1)n(x+1)n+1=2nx(x-1)n-1(x+1)n+1． 故f’(x)=0以．以x=0为单根,x=±1为(n-1)重根．因为f’(0)=f’(1)=f’(-1)=0，由罗尔中值定理，[*]ξ1(2)，ξ2(2)，满足-1＜ξ1(2)＜0＜ξ2(2)＜1，使得f”(ξ1(2))=f”(ξ2(2))=0，于是f”(x)=0有两个单根；又因为f”(x)=p2(x)(x-1)n-2(x+1)n-2，其中p2(x)为二次多项式，故方程f”(x)=0还有两个(n-2)重根±1． 由此可推测当导数增高一次，相异单根增加一个，但重根±1的重数各下降一次．现用数学归纳法证明相应结论． 若f(k)(x)=0，1≤k＜n有k个不同单根ξ1(k)＜ξ2(k)＜…＜ξk(k)，±1为其(n-k)重根． f(k)(x)=pk(x)(x-1)n-k(x+1)n-k， 由罗尔中值定理，f(k+1)=0有(k+1)个单根{ξi(k+1)}i=1k+1 -1＜ξ1(k+1)＜ξ1(k)＜ξ2(k+1)＜…＜ξk(k)＜ξk+1(k+1)＜1， f(k+1)(x)=pk+1(x)(x-1)n-(k+1)(x+1)n-(k+1)， 其中pk+1(x)为(k+1)次多项式，即f(k+1)(x)有两个n-(k+1)重根±1．当k=n-1时，f(n)(x)=0正好有n个相异实根．
解析
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考研数学三

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