2. 考研
  3. (1)设f(x)＝ex－∫0x(x－t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)． (2)设f(x)在(－1，＋∞)内连续，且f(x)－∫0xtf(t)dt＝1(x＞－1)，求f(x)．

(1)设f(x)＝ex－∫0x(x－t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)． (2)设f(x)在(－1，＋∞)内连续，且f(x)－∫0xtf(t)dt＝1(x＞－1)，求f(x)．

admin2017-12-31  5
问题 (1)设f(x)＝ex－∫0x(x－t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)．
(2)设f(x)在(－1，＋∞)内连续，且f(x)－∫0xtf(t)dt＝1(x＞－1)，求f(x)．
选项
答案(1)由f(x)＝ex－∫0x(x－t)f(t)dt，得f(x)＝ex－x∫0xf(t)dt＋∫0xtf(t)dt， 两边对x求导，得f’(x)＝ex－∫0xf(t)dt，两边再对x求导得f’’(x)＋f(x)＝ex，其通解为f(x)＝ C1cosx＋C2sinx＋[*]．在f(x)＝ex－∫0x(x－t)f(t)dt中，令x＝0得f(0)＝1，在f’(x)＝ex－ ∫0xf(t)dt中，令f’(0)＝1，于是有[*]． (2)由f(x)－[*]∫0xtf(t)dt＝1得 (x＋1)f(x)－∫0xtf(t)dt＝x＋1，两边求导得 f(x)＋(x＋1)f’(x)－xf(x)＝1，整理得 f’(x)＋(－1＋[*]，解得 [*]
解析
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考研数学三

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