设f(x)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数,f(0)=0. (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式; (2)证明在[-a,a]上至少存在一点η,使 a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx.

admin2014-07-22  73

问题 设f(x)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数,f(0)=0.
(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;
(2)证明在[-a,a]上至少存在一点η,使
          a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx.

选项

答案(1)对任意x∈[-a,a], [*] 其中ξ在0与x之间. (2)[*] 因为f"(x)在[-a,a]上连续,故对任意的x∈[-a,a],有m≤f"(x)≤M,其中M,m分别为f"(x)在[-a,a]上的最大、最小值,于是有 [*] 即[*] 因此,由f"(x)在[-a,a]上的连续性知,至少存在一点η∈[-a,a],使 [*] 即a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx.

解析 [分析]  (1)直接套公式即可,f(x)的带拉格朗日余项的”阶麦克劳林公式为:
   
    (2)的证明显然要用到(1)的结果,由于f(x)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数,因此f"(x)一定存在最大和最小值,若对进行估值后,发现介于f"(x)的最大值和最小值之间,则用介值定理即可完成证明.
[评注]  本题证明过程中得到的ξ与x有关,因此在(2)的证明过程中,干万不要误以为是常数,而由积分直接得

于是推出a3f"(ξ)=3∫-aaf(x)dx.
这样表面上似乎证明了结论,而实际上是错误的.有时为了明确起见,可将ξ记为ξ(x).
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