2. 考研
  3. [2004年] 设α1=[1，2，0]T，α2=[1，a+2，－3a]T，α3=[－1，－b－2，a+2b]T，β=[1，3，－3]T．试讨论当a，b为何值时， β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式．

[2004年] 设α1=[1，2，0]T，α2=[1，a+2，－3a]T，α3=[－1，－b－2，a+2b]T，β=[1，3，－3]T．试讨论当a，b为何值时， β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式．

admin2019-04-28  28
问题 [2004年]  设α1=[1，2，0]T，α2=[1，a+2，－3a]T，α3=[－1，－b－2，a+2b]T，β=[1，3，－3]T．试讨论当a，b为何值时，
β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式．
选项
答案当a≠0且a－b=0，即a=b≠0时，对[A|β]施以初等行变换，有 [*] 可知秩(A)=秩([A|β])=2，故方程组①有无穷多解．其一基础解系只含一个解向量α=[0，1，1]T，其一个特解为η=[1－1／a，1／a，0]，故以k1，k2，k3为未知数的方程组①的通解为 [k1，k2，k3=η+cα=[1－1／a，1／a，0]T+c[0，1，1]T=[1－1／a，1／a+c，c]T(c为任意常数)． 于是β可由α1，α2，α3线性表示，其一般表示式为 β=k1α1+k2α2+k3α3=(1－1／a)α1+(1／a+c)α2+cα3 (c为任意常数)． 由上式易知，由于c为任意常数，β由α1，α2，α3线性表出的一般表达式，常归结为求关于未知数k1，k2，k3的方程组β=k1α1+k2α2+k3β3的通解．
解析
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考研数学三

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